Gehirntheorie der Wirbeltiere

ISBN 978-3-00-064888-5

Monografie von Dr. rer. nat. Andreas Heinrich Malczan

5.4  Theorie der ebenen Konvergenzgitter

Ebene Konvergenzgitter machen die Signaldivergenz wieder rückgängig, die durch ebene Divergenzgitter verursacht wurde.

Abbildung 55- Lineares und ebenes Divergenzgitter im Vergleich

Wir wollen den Output eines ebenen Konvergenzgitters ermitteln unter der vereinfachenden Annahme, durch die laterale Hemmung wäre nur noch ein Outputneuron aktiv und befinde sich genau am Extrempunkt des zugehörigen Divergenzgitters. Der Output des Divergenzgitters möge topologisch wohlgeordnet im Konvergenzgitter eintreffen. Von seinen vielen Inputneuronen ist vereinfachend nur noch das Neuron mit den Koordinaten P(x_o, y_o) aktiv, in dem die Erregungsfunktion des Divergenzgitters ihr Maximum besitzt.

Später können wir uns Gedanken darüber machen, wie sich die Ergebnisse ändern, wenn anstelle eines Neurons eine relativ kleine Neuronenpopulation aktiv ist.

Der Output des aktiven Neurons breitet sich auf den Axonen der Interneuronen zu den Ecken des Quadrates aus und erreicht dort insgesamt vier Outputneuronen. Hierbei unterstellen wir wieder eine exponentielle Dämpfung so wie im Divergenzgitter.

Eine Darstellung im Koordinatensystem möge die Betrachtung erleichtern. Wir wählen die gleiche Anordnung wir im Divergenzgitter.

Abbildung 56- Ebenes Konvergenzgitter im kartesischen Koordinatensystem

Für die beteiligten Radiusvektoren r₁ bis r₄ erhält man über den Satz des Pythagoras nachfolgende Gleichungen:

                                        (4.1)

                                        (4.2)

                                        (4.3)

                                        (4.4)

Im ebenen Konvergenzgitter breitet sich die Erregung vom Punkt P(x_o, y_o) zu den Neuronen in den Punkten P₁, P₂, P₃ und P₄ aus, die im Abstand 1 vom Koordinatenursprung auf den Koordinatenachsen liegen.

Es sei f_max die Feuerrate im Punkt P(x₀,y₀), die gleichzeitig die maximale Feuerrate im zugehörigen Divergenzgitter sei. Bei der Ausbreitung dieser Maximalerregung zu den Outputneuronen wird sie exponentiell gedämpft. Es sei f_1,k die Feuerrate im Punkt P₁, f_2,k die im Punkt P₂, f_3,k die im Punkt P₃ und f_4,k die im Punkt f₄. Der Index k deutet darauf hin, dass wir die Größen des Konvergenzgitters betrachten. Die neuronale Erregung wird während der Ausbreitung zu den vier Outputneuronen exponentiell gedämpft, so dass die Feuerraten in den Outputneuronen folgenden Gleichungen genügen:

               (4.5)

               (4.6)

               (4.7)   

               (4.8)

Wir berechnen nun den Phasenwinkel im zugehörigen Bildgrößendiagramm des Konvergenzgitters.

                    (4.9)

                     (4.10)

                                         (4.11)                               

Wir erinnern uns an die Gleichungen (3.1.7) des Divergenzgitters

                                  (3.1.7)

und erkennen, dass die Koordinaten des Maximumpunktes im Phasenwinkel des Konvergenzgitters den Urgrößen u und v des Divergenzgitters entsprechen, jedoch im Exponenten das Minuszeichen steht, wodurch der Kehrwert vorliegt. Es tritt daher eine Phasenverschiebung um π/2.

Im zugehörigen Divergenzgitter galt nach (3.1.7)

                     

Nun können wir die Phasenwinkel im Bildgrößendiagramm des Divergenzgitters und des zugehörigen Konvergenzgitters vergleichen und stellen fest:

                                                                            (4.14)

                                                                                (4.15)

Theorem der Phasenverschiebung zwischen Divergenzgitter und Konvergenzgitter

Zwischen der Phase des Divergenzgitters und der Phase des Konvergenzgitters besteht eine Phasenverschiebung von π/2.

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  und Phasenwinkel in ebenen Divergenzgittern
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Monografie von Dr. rer. nat. Andreas Heinrich Malczan